Архивы категории: Մաթեմատիկա

Խնդիր 114

Վեկտորը լատիներեն բառ է, որը նշանակում է տանող:

Այն մեծությունները,որոնք բնութագրվում են թվային արժեքով,կոչվում են սկալյար մեծություններ, իսկ այն մեծությունները,որոնք բնութագրվում են ոչ միայն թվային արժեքով, այլև տարածության մեջ իրենց ունեցած ուղղությամբ, կոչվում են վեկտորական մեծություններ: 

Վեկտորական մեծությունը կամ վեկտորը այն մեծությունն է, որը որոշվում է թվային արժեքով և ուղղությամբ: Վեկտորի թվային արժեքը կոչվում է նրա մոդուլ:

Վեկտորը ներկայանում է որպես ուղղորդված հատված: Հատվածի ծայրակետերից մեկն անվանվում է  սկզբնակետ, իսկ մյուսը՝ վերջնակետ: 

Վեկտորի գրառման համար տառերի հերթականությունը խիստ կարևոր է: Առաջին տառը ցույց է տալիս սկզբնակետը, իսկ երկրորդը՝ վերջնակետը:

Հատվածի երկարությունը վերցվում է վեկտորի մոդուլին հավասար: Օրինակ,  AB ոչ զրոյական վեկտորի  մոդուլը հավասար է AB հատվածի երկարությանը: Այն նշանակվում է |AB|:

Այն վեկտորը, որի մոդուլը 0 է, անվանում ենք զրոյական վեկտոր: Այն պատկերվում է կետով, այսինքն՝ նրա սկզբնակետը և վերջնակետը համընկնում են:

Երկու ոչ զրոյական վեկտորներ, որոնց ներկայացնող ուղղորդված հատվածները գտնվում են միևնույն ուղղի կամ զուգահեռ ուղիղների վրա, կոչվում են համագիծ վեկտորներ: Օր.՝ նկ. 44-ում AB||CD: 

Համագիծ վեկտորները կարող են կա՛մ միևնույն ուղղությունն ունենալ, կա՛մ լինել հակադիր ուղղությամբ: Առաջին դեպքում վեկտորներն անվանում են համուղղված
(AD↑↑CF), երկրորդ դեպքում՝ հակուղղված(FE↑↓NC):

Ոչ համագիծ վեկտորները կոչվում են տարագիծ վեկտորներ:

Երկու վեկտորներ կոչվում են հավասար, եթե նրանք համուղղված են և նրանց մոդուլները հավասար են: 

a և b վեկտորների հավասարությունը գրառվում է այսպես՝ a=b, սա նշանակում է, որ տեղի ունեն հետևյալ պայմանները. a↑↑b  և  |a|=|b|:

Զրոյական վեկտորները միմյանց հավասար են. |0|=0: Կարող ենք ասել,որ զրոյական վեկտորը միակն է:

aվեկտորը տեղադրված է A կետից արտահայտության փոխարեն երբեմն ասում են aվեկտորը կիրառված է A կետից: Այս դեպքում A կետը կոչվում է վեկտորի կիրառման կետ:

Ֆիզիկական երևույթները հոտազոտելիս դիտարկվում են երեք տեսակի վեկտորներ՝ ազատ,սահող և կապված: Ազատ վեկտորը կարող է կիրառվել տարածության ցանկացած կետից, սահող վեկտորը՝ միայն մեկ ուղղի պատկանող կետից, իսկ կապված վեկտորը՝ միայն մեկ կետից:

Գործողություններ վեկտորների հետ

Վեկտորների գումարումը

Կամայական a և b վեկտորների գումար կոչվում է այն c վեկտորը, որի սկզբնակետը որևէ կետից տեղադրված a վեկտորի սկզբնակետն է, իսկ վերջնակետը՝ a-ի վերջնակետից տեղադրված b վեկտորի վերջնակետը:

3 կետերի կանոնը. Տարածության կամայական A,B, և C կետերի համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝ AB+BC=AC:

Երկու տարագիծ վեկտորների գումարը կարելի է գտնել նաև ըստ զուգահեռագծի կանոնի: Ըստ այդ կանոնի՝ գումարելի a և b վեկտորները տեղադրվում են նույն կետից և որպես գումար է վերցվում նրանցով կազմված զուգահեռագծի այն ուղղորդված անկյունագիծը, որի սկզբնակետը գումարելի վեկտորների ընդհանուր սկզբնակետն է: 

Ցանկացած a, b, c վեկտորների համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.

• a+b=b+a   /տեղափոխական հատկություն/
• (a+b)+c=a+(b+c)    /զուգորդական հատկություն/
• a+0=a   /զրոյական գումարելիի հատկություն/:

Մի քանի վեկտորների գումարումը կատարվում է դրանց զույգերի գումարը հաջորդաբար գտնելու միջոցով:

Մի քանի կետերի կանոնը. 

Վեկտորների հանմը: Հակադիր վեկտորներ

Գտնել a և b վեկտորների տարբերություն նշանակում է գտնել մի այնպիսի c վեկտոր, որը գումարելով b վեկտորին ստացվում է a վեկտորը:

a-b վեկտորը կառուցելու համար տանում ենք միևնույն կետից տեղադրված a և bվեկտորների վերջնակետերը միացնող հատվածը և որպես ուղղություն վերցնում b-ի վերջնակետից դեպի a-ի վերջնակետը:

Երկու վեկտորներ, որոնց գումարը զրոյական վեկտոր է,կոչվում են հակադիր վեկտորներ: 

Ոչ զրոյական հակադիր վեկտորների մոդուլները հավասար են և դրանք հակուղղված են, իսկ զրոյական վեկտորի հակադիրը ևս զրոյական վեկտոր է :

Վեկտորների բազմապատկումը թվով

Ոչ զրոյական a վեկտորի և k թվի արտադրյալ կոչվում է այն վեկտորը, որի մոդուլն է |k||a|, և որը k0 դեպքում համուղղված է a վեկտորին, իսկ k<0 դեպքում՝ հակուղղված: Զրոյական վեկտորի և կամայական թվի արտադրյալ է կոչվում զրոյական վեկտորը:

a վեկտորի և k թվի արտադրյալը նշանակվում է ka կամ ka:

Կարող ենք ասել, որ

• a և ka վեկտորները համագիծ են. a || ka
• |ka|=|k||a|
•  k0=0a=0
• 1a=a  և -1a=-a

Ցանկացած k, m թվերի և կամայական a , b վեկտորների համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.

Վեկտորների սկալյար արտադրյալը

Քանի որ տարածության մեջ կամայական 2 վեկտոր կարելի է  տեղադրել նույն կետից, ապա  կարող ենք ասել, որ ցանկացած երկու վեկտոր ընդգրկվում են մի հարթության մեջ: Դրանից ելնելով կարող ենք ներմուծել երկու վեկտորների կազմած անկյուն հասկացությունը:

Վերցնենք կամայական երկու a և b ոչ զրոյական վեկտորներ և դրանք տեղադրենք որևէ Օ կետից (տես նկարը): Եթե a և b համուղղված չեն, ապա OA և OB ճառագայթները կազմում են <AOB: Այդ անկյան մեծությունը նշանակենք : Այդ դեպքում կասենք, որ a և b վեկտորների կազմած անկյունը է: Իսկ եթե a և b վեկտորները համուղղված են (այդ դեպքում նաև նրանցից մեկը կամ երկուսն էլ զրոյական են), ապա նրանց կազմած անկյունը 0է:  a և b վեկտորների կազմած անկյունը նշանակում են      <(a,b ): 

Այն երկու վեկտորները, որոնց կազմած անկյունը 90է, կոչվում են ուղղահայաց/փոխուղղահայց վեկտորներ:

Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալ կոչվում է դրանց մոդուլների և այդ վեկտորների կազմած անկյան կոսինուսի արտադրյալը:

a*b=|a|*|b|*cos<(a,b)

Հավասարման աջ մասի արժեքը թվային մեծություն է: Եթե վեկտորներից գոնե մեկը զրոյական է, ապա արտահայտության արծեքը 0 է: 

Երկու ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է միայն այն դեպքում, երբ նրանք փոխուղղահայց են, քանի որ նրանց կազմած անկյունը հավասար է 90, իսկ cos90=0:

Համահարթ և տարահարթ վեկտորներ

Երեք կամ ավելի վեկտորները, որոնք նույն կետից տեղադրելիս ընկնում են մի հարթության մեջ, կոչվում են  համահարթ վեկտորներ:

Երեք կամ ավելի վեկտորները, որոնք նույն կետից տեղադրելիս մի հարթության մեջ չեն ընկնում, կոչվում են  տարահարթ վեկտորներ:

Երեք տարահարթ վեկտորների գումարը հավասար է նույն կետից տեղադրելիս նրանց վրա կառուցված զուգահեռանիստի այն ուղղորդված անկյունագիծը, որի սկզբնակետը տվյալ կետն է: Այս կանոնը կոչվում է զուգահեռանիստի կանոն:

Կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգը

Կոորդինատ բառն ունի լատինական ծագում և բառացի նշանակում է համատեղ կարգավորված: Ժամանակակից մաթեմատիկայում օգտագործվում են կոորդինատների տարբեր համակարգեր, սակայն մենք կուսումնասիրենք դրանցից մեկը՝ կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգը, որը բաղկացած է կոորդինատային Ox, Oy, Oz առանցքներից՝ աբսցիսների առանցք, օրդինատների առանցք, ապլիկատների առանցք և կոորդինատների սկզբնակետից՝ O: 

Կոորդինատային առանցքների զուգերով անցնող հարթությունները կոչվում են կոորդինատային հարթություններ, որոնք համապատասխանաբար նշանակվում են Oxy, Oxz, Oyz, իսկ կոորդինատային համակարգն ամբողջությամբ նշանակվում է Oxyz:

Վեկտորների կոորդինատները

Կոորդինատների սկզբնակետից տեղադրված վեկտորի վերջնակետի կոորդինատները կոչվում են այդ վեկտորի կոորդինատներ:

OAx,y,z կամ ax,y,z

Վեկտորը, որի մոդուլը հավասր է հատվածների չափման միավորին, կոչվում է միավոր վեկտոր:

Կոորդինատային վեկտորներն այն միավոր վեկտորներն են, որոնք տեղադրված են կոորդինատների սկզբնակետից՝ կոորդինատային առանցքների ուղղությամբ:

Կոորդինատային վեկտորները տարահարթ են, հետևաբար ցանկացած վեկտոր կարելի է վերածել ըստ այդ վեկտորների:

Հավասար վեկտորներ կունենան նույն կոորդինատները:

Վեկտորների հետ գործողությունները կոորդինատներով

Երկու կամ ավելի վեկտորների գումարի/տարբերության յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է այդ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների գումարն/տարբերությանը:

a+b=c, cx1+x2,y1+y2,z1+z2

a-b=c, cx1-x2,y1-y2,z1-z2

Տրված վեկտորի հակադիրի յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է այդ վեկտորի համապատասխան կոորդինատի հակադիրին:

ax,y,z, հետևաբար՝ -a-x,-y,-z

Վեկտորի ու թվի արտադրյալի յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է վեկտորի համապատասխան կոորդինատի և այդ թվի արտադրյալին:

ax,y,zկոորդինատներով a վեկտորի մոդուլը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ 

|a|=x2+y2+z2

Կոորդինատների միջոցով կարող ենք հաշվել նաև կամայական երկու ax1,y1,z1,bx2,y2,z2վեկտորների սկալյար արտադրյալը:

ab=x1x2+y1y2+z1z2

Դիտարկենք նաև հետևյալը. ab=|a||b|cos cos=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22:

Երկու կետերի միջև հեռավորությունը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

dAB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2, 

A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) — տրված կետերի կոորդինատներն են:

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները որոշվում են հետևյալ բանաձևով.

x=x1+x22, y=y1+y22, z=z1+z22, Mx,y,z:

Համաչափ կետերի կոորդինատները

Համաչափությունը կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ.

Տրված կետի կոորդինատների միջոցով կոորդինատային սկզբնակետի նկատմամբ համաչափ կետի կոորդինատները որոշելու համար բավական է տրված կետի բոլոր կոորդինատները փոխարինել իրենց հակադիրներով:

Համաչափությունը կոորդինատային առանցքների նկատմամբ.

Տրված կետի կոորդինատների միջոցով որևէ կոորդինատային առանցքի նկատմամբ համաչափ կետի կոորդինատները որոշելու համար բավական է տրված կետի՝ այդ առանցքի անվամբ կոորդինատը թողնել նույնը, իսկ մյուս երկու կոորդինատները փոխարինել իրենց հակադիրներով:

Համաչափությունը կոորդինատային հարթությունների նկատմամբ.

Տրված կետի կոորդինատների միջոցով որևէ կոորդինատային հարթության նկատմամբ համաչափ կետի կոորդինատները որոշելու համար բավական է տրված կետի՝ այդ հարթության անվամբ կոորդինատները թողնել նույնը, իսկ մյուս կոորդինատը փոխարինել իր հակադիրով:

Տարածության մեջ տրված մակերևույթի հավասարումը

Ներմուծված Oxy համակարգում x և y փոփոխականներով f(x,y)=0 հավասարումը կոչվում է որևէ L գծի հավասարում, եթե L գծի ցանկացած կետի կոորդինատները բավարարում են այդ հավասարմանը, իսկ L-ի վրա չընկած կետերի կոորդինատները չեն բավարարում այդ հավասարմանը:

Օրինակ, M(x,y) կետը r շառավիղ և A(a,b) կենտրոն ունեցող շրջանագծին պատկանում է միայն և միայն այն դեպքում, երբ x-ն ու y-ը բավարարում են (x-a)2+(y-b)2=r2հավասարմանը:

x, y, z փոփոխականներով f(x,y,z)=0 հավասարումը կոչվում է F մակերևույթի հավասարում, եթե ցանկացած M(x,y,z) կետ F մակերևույթին պատկանում է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա կոորդինատները բավարարում են այդ հավասարմանը:

Կամայական M(x,y,z) կետի հեռավորությունն A(a,b,c) կետից հաշվվում է հետևյալ բանաձևով. dMA=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2:  Եթե M կետն ընկած է գնդային մակերևույթի վրա, ապա dMA=R   կամ   dMA2=R2, այսինքն՝ M կետի կոորդինատները բավարարում են հետևյալ հավասարմանը.

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2:

Մասնավոր դեպքում, երբ գնդային մակերևույթի կենտրոնը կոորդինատային համակարգի սկզբնակետն է (a=b=c=0), ապա գնդային մակերևույթի հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

x2+y2+z2=R2:

Վեկտորը լատիներեն բառ է, որը նշանակում է տանող:

Այն մեծությունները,որոնք բնութագրվում են թվային արժեքով, կոչվում են սկալյար մեծություններ, իսկ այն մեծությունները,որոնք բնութագրվում են ոչ միայն թվային արժեքով, այլև տարածության մեջ իրենց ունեցած ուղղությամբ, կոչվում են վեկտորական մեծություններ: 

Սկալյար մեծություն

Սկալյար մեծություն — ֆիզիկական մեծություն է, որն ունի միայն մեկ հատկանիշ՝ թվային արժեք։

Սկալյար մեծության արժեքը կարող է լինել դրական կամ բացասական:

Սկալյար մեծությունների օրինակներ՝ զանգված, ջերմաստիճան, աշխատանք, ժամանակ, ժամանակաշրջան, հաճախականություն, խտություն, էներգիա, ծավալ, էլեկտրական հզորություն, լարում, հոսանք և այլն։

Վեկտորական մեծություն

Վեկտորային մեծությունը — ֆիզիկական մեծություն է, որն ունի երկու հատկանիշ՝ մոդուլ և ուղղություն տարածության մեջ։

Վեկտորային մեծությունների օրինակներ՝ արագություն, ուժ, արագացում, լարվածություն և այլն։

Երկրաչափորեն վեկտորը պատկերված է որպես ուղիղ գծի ուղղորդված հատված, որի երկարությունը սանդղակի վրա վեկտորի մոդուլն է։

Մաթեմատիկա

Մաթեմատիկա Առաջադրանքեր

Ֆունկցիա Պրոեկտ

Տնային աշխատանք

295.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Ֆունկցիան մաթեմատիկայում, երկու բազմությունների տարրերի միջև համապատասխանության կանոն է, ըստ որի առաջինի յուրաքանչյուր տարր համապատասխանում է երկրորդ բազմության մեկ և միայն մեկ տարրին։ Հաճախ «ֆունկցիա» տերմինը հասկացվում է որպես թվային ֆունկցիա, այսինքն՝ ֆունկցիա, որը մի թվին համապատասխանեցնում է մյուսին։  Այս ֆունկցիաները հարմար է ներկայացնել գրաֆիկների տեսքով։

Ֆունկցիա սահմանելու եղանակներ

Վերլուծական մեթոդ

Ֆունկցիան կարելի է սամանել՝ օգտագործելով վերլուծական արտահայտություն (օրինակ՝ բանաձև)։ Այս դեպքում այն նշվում է որպես համապատասխանություն հավասարության տեսքով։

Օրինակներ․

Ֆունկցիա, որը տրվում է մեկ բանաձևով․

Անուղղակիորեն սահմանված ֆունկցիա․

Գրաֆիկական եղանակ

 գրաֆիկը

Ֆունկցիան կարող է սահմանվել նաև գրաֆիկի միջոցով։ Եթե – n փոփոխականով իրական ֆունկցիա,ապա նրա գրաֆիկը կետերի բազմություն է   (n+1)}-աչափ միջակայքում \։ Այս կետերի բազմությունը հաճախ հիպերմակերևույթ է։ Մասնավորապես, երբ  ֆունկցիայի գրաֆիկը որոշ դեպքերում կարող է ներկայացվել երկչափ տարածության կորով։

Արժեքների թվարկում

Վերջավոր բազմության վրա ֆունկցիան կարող է սահմանվել արժեքների աղյուսակով՝ ուղղակիորեն նշելով դրա արժեքները սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր տարրի համար։Այս մեթոդը օգտագործվում է, օրինակ, Բուլյան ֆունկցիաները սահմանելու համար։ Փաստորեն, այս մեթոդը նաև ֆունկցիայի գրաֆիկի սահմանումն է, եթե ֆունկցիայի գրաֆիկը դիտարկենք որպես ձևի կարգավորված զույգերի բազմություն

Բիեկցիա

Ֆունկցիան, որը միևնույն ժամանակ սուբեկտիվ և օբեկտիվ է, կոչվում է բիեկտիվ կամ փոխադարձ միանշանակ (կարճ՝ բիեկցիա)։

Հակադարձ ֆունկցիա

Եթե ֆունկցիան բիեկցիա է, ապա գոյություն ունի , որի համար։

{-1}} ֆունկցիան այս դեպքում կոչվում է հակադարձ -ի նկատմամբ, բացի այդ,  նույնպես բիեկտիվ ֆունկցիա է։

Պարբերականություն

 ֆունկցիան կոչվում է պարբերական  պարբերույթով, եթե ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը․.

Քանի որ պարբերույթով պարբերական ֆունկցիան պարբերական է նաև  տիպի պարբերույթներով, ապա-ն ֆունկցիայի նվազագույն պարբերույթն է։

Ֆունկցիաները բազմությունների տեսության մեջ

Կախված նրանից, թե ինչպիսին է առաջադրման ոլորտի և նշանակումների տարածության բնույթը, տարբերակում են ոլորտների հետևյալ դեպքերը.

1. վերացական բազմություններ, որոնք առանց որևէ լրացուցիչ կառուցվածքի բազմություններն են,
2. բազմություններ, որենք օժտված է որոշակի կառուցվածքով։

1. Մտքումս մի թիվ եմ պահել, Եթե այդ թվին ավելացնեմ նրա կրկնապատիկը, այնուհետև փոքրացնեմ 11-ով, ապա կստանամ 7: Ո՞ր թիվն եմ մտապահել։

9*2-11=7

2. Ինչպե՞ս կփոխվի գումարը, եթե գումարելիներից մեկը մեծացնենք 3-ով, իսկ մյուսը փոքրացնենք 6-ով։

պակասում է 3 ով

3. Գտնելով օրինաչափությունը, լրացրո՛ւ դատարկ վանդակը։

50

4. 3 որմնադիր 3 մետր պատը շարում են 3 ժամում։ Քանի՞ որմնադիր կարող է 7 ժամում 7 մետր պատ շարել։

7

5. Տրված CD հատվածի վրա N և M կետերն նշված են այնպես, որ CD=13սմ, ND=10սմ, CM=7սմ։ Գտի՛ր NM հատվածի երկարությունը։

6. 3, 4, 5, 6 թվանշաններից յուրաքանչյուրը մեկական անգամ օգտագործելով՝ կազմիր 4-ի բաժանվող հնարավոր ամենամեծ քառանիշ թիվը։

3600

7. Երեք հաջորդական զույգ թվերի գումարը 48 է։ Գտի՛ր այդ թվերից ամենամեծը։

16

8. 2 վարդն ու 1 մեխակն արժեն 250 դրամ, իսկ 3 վարդն ու 2 մեխակը՝ 400 դրամ։ Գտի՛ր յուրաքանչյուր ծաղիկի արժեքը։

Վարդ-100դրամ , մեխակ-50դրամ

9. Ի՞նչ թվանշանով է վերջանում բոլոր երկնիշ զույգ թվերի արտադրյալի և բոլոր երկնիշ կենտ թվերի արտադրյալի գումարը:

վերջանում է կենտ թվով

10. Առաջին խողովակով 1 ժամում ջրավազան է լցվում 24լ ջուր, իսկ երկրորդ խողովակով՝ 42լ։ Երկու խողովակի համատեղգործելու դեպքում, դատարկ ջրավազանը լցվումէ 25 ժամում։ Սկզբում բացեցին միայն երկրորդ խողովակը: 29 ժամ հետո այն փակեցին և բացեցին առաջին խողովակը: Դրանից քանի՞ ժամ հետո լցվեց ամբողջ ջրավազանը:

Առաջադրանք.38

Ա) (√2)¹⁵ > (√2)⁹
Բ) (1,5)^-12 > (1,5)^-29
Գ) (4/π)³ > 1
Դ) (2/3)⁴ < (2/3)⁸
Ե) (√15/4)^-7 < (√15/4)³
Զ) (3/π)⁹ < 1

Առաջադրանք.39

Ա) ³√12 x (³√12)² = √12 x (√12)² = (³√12)¹ x (³√12)² = (√12)¹⁺² = (³√12³) = 12

Բ) (√13)⁵/√13 = (⁴√13/√13)⁵ = ⁴√13⁴ = 13² = 169

Գ) (√8)³ x (⁴√8)⁹ = (⁴√8)³⁺⁹ = (⁴√8)¹² = 8³ = 512

Առաջադրանք.46

Ա)⁴√3 – ²√2 | 3<2, 2<4

Բ) ⁴√4 – ⁶√6 | 4³>6², 64>36

Գ) √3√2 – √5 | √3√2<√5, 4,24264<5

Դ) 3√5² – ⁵√5³ | √5^2 15>√5³, (5²)⁵>(√5³)³, 5¹⁰>5⁹, 10>9

Ե) √5 – ³√5 | √5>³√5, 5³>5², 3>2

Զ) ⁴√0,7 – ⁶√0,7 | 0,7³>0,7²

Է) √1,1 – 11 | √11/√10<1,1, √110/10<1,1, 1,04881<11

Ը) ³√0,1 – 0,1 | ³√1/10>0,1, 3√100/10>0,1, 0,464159>0,1

Առաջադրանք.47

Ա) √2 x √8 = √2×8 = √16 = 4

Բ) √24 x √54 = √24×54 = √1296 = 36

Գ) √3 x ³√3 x ⁶√3 = ⁶√3³ x ⁶√3x ⁶√3 = ⁶√3³ x 3² x 3 = ⁶√3⁶ = 3

Դ) ⁶√16 x ³√4 x √64 = ¹⁸√4⁶+6+6 = ¹⁸√4⁶ x ¹⁸√64² = ¹⁸√16³ x 4⁶ x 64² = ¹⁸√4⁶+6+6 = ¹⁸√4+8 = 4

Առաջադրանք.48

Ա) √18/√2 = √2 x √9/√2 = √9 = 3

Բ) √162/√18 = √18√9 = √9 = 3

Առաջադրանք.54

Ա) x^1/4 ∙ x^3/10 = x1/4 + 3/10 = x11/20 = 20√x

Բ) a=^-3/8 : a^1/4 = 1/a^2/8 ∙ 1/a^1/4 = 1^3/8 : 1/a^1/4 = 1^3/8+1/4 = 1/a^5/8 = 1/⁸√a⁵ = 1/⁸√a⁵ ∙ ⁸√a³/⁸√a³ = ⁹√a³/√a⁵∙a³ = ⁸√a³/a

Գ) (y 3/4)^4/5 = y^3/2 ∙ 4/3 = y^1/2 = √y

Դ) (x 2/3)^0,6 ∙ x^2/5 = x^2/3 ∙ ^0,6 ∙ x^2/5 = x^2/5 ∙ x^2/5 = x^4/5 = 5√x⁴

Առաջադրանք.58

Ա) (31/30)^1,13 > 1

Բ) (1,0001)^0,0001 > 1

Գ) (27/26)^0,14 > 1

Դ) (π/3)^-0,037 < 1

Ե) (√0,3)^1,89 < 1

Զ) (⁹√0,999)⁹⁹⁹ < 1

Է) (1/143)⁰ = 1

Ը) 0^0,023 < 1

Առաջադրանք.61

Ա) (5^√3)^√3 = 5^{√3 ∙ √3} = 5³ = 125

Բ) ((√2)^√2)^√2 = √2^√2∙√2 = √2²

Առաջադրանք.63

Ա) 3^√5 – 9
3^√5 > 3²
√5 > 2
√5² > 2
5 > 4

Բ) (2/3)^√2 – 8/27
√7<3
7<9

Գ) 7^–π – 1
1/7<1
0,0022<1

Դ) (0,5)^–√2 – 1
(1/2)^–√2 > 1
2,67 > 1

Ե) (0,2)^–√3 – 5
5^√3 > 5¹
√3 > 1

Զ) (4/3)^π – 9/16
(4/3)^π < (4/3)^-4
-π < 2

Առաջադրանք.64

Բ) (1,8)ⁿ < (1,8)^√7 < (1,8)ⁿ⁺¹
n=2

Գ) (3/4)ⁿ < (3/4)^√6 < (3/4)^n-1
n=3

Առաջադրանք.65

Ա) 9^x+1 = 9^1+x ∙ 9^ = 9 ∙ 9^x

Բ) (0,5)^x-3 = (0,5)^x ∙ (0,5)³ = (0,5)^x

1. Գտի՛ր օրինաչափությունը և լրացրո՛ւ դատարկ վանդակը:

Լուծում
1.74-62=12
2.12/2=6
3.62+6=68
Պատ’.68, դա թվային պռոգրեսյայի խնդիր է.

2. Երկնիշ թվի թվանշանների արտադրյալը 21 է: Որքա՞ն է այդ թվի թվանշանների գումարը:Your answer

Լուծում
1.3*7=21
2.3+7=10
Պատ’.10

3. Երեք հաջորդական զույգ թվերի գումարը 336 է։ Գտի՛ր այդ թվերից ամենամեծը։

Լուծում
1.110+112+114=336
Պատ’. Ամենամեծ թիվը 114-ն է.

4. Մարիամն ամեն օր գրում է այդ օրվա ամսաթիվն ու ամիսը, այնուհետև հաշվում է թվանշանների գումարը: Օրինակ՝ մարտի 26-ը գրում է այսպես՝ 26.03, գումարը կլինի՝ 2+6+0+3=11: Մարիամի ստացած ամենամեծ գումարը ո՞րը կլինի։

Լուծում
1.29.09;
2.2+9+0+9=20;
Պատ’.29.09

5. Ճագարն ուներ 20 գազար: Ամեն օր նա ուտում էր երկու գազար: Շաբաթվա ո՞ր օրն էր նա սկսել ուտել իր գազարները, եթե 11-րդ գազարը կերել էր երեքշաբթի օրը:

Երկուշաբթի 10
Կիրակի 8
Շաբաթ 6
Ուրբաթ 4
Հինգշաբթի 2
Պատ’. Սկսել էր հինգշաբտվանից.

6. Փուչիկները վաճառվում են տարբեր փաթեթներով, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է՝ 5, 10 կամ 25 հատ փուչիկ: Ամենաքիչը քանի՞ փաթեթ պետք է գնի Մարինեն, եթե նա ուզում է գնել ճիշտ 70 փուչիկ:

Լուծում
1.70/25=2,8
2.70/10=7
3.70/5=14
Պատ’. Ամենաքիչը պետք է առնի 7տուփ 10փուչիկով.

7. Առաջին կանգառում ավտոբուսից իջան 3 ուղևոր, երկրորդ կանգառում բարձրացան 6 ուղևոր, երրորդ կանգառում իջան 4 ուղևոր և բարձրացան 3 ուղևոր։ Արդյունքում ավտոբուսում մնացին 15 ուղևոր։ Սկզբում ավտոբուսում քանի՞ ուղևոր կար։

Լուծում
1.x-3-6-4+3=15
x-13+3=15
x=15+10=25
Պատ’. 25