Архивы категории: Անալիտիկ երկրաչափություն

Խնդիր 114

Վեկտորը լատիներեն բառ է, որը նշանակում է տանող:

Այն մեծությունները,որոնք բնութագրվում են թվային արժեքով,կոչվում են սկալյար մեծություններ, իսկ այն մեծությունները,որոնք բնութագրվում են ոչ միայն թվային արժեքով, այլև տարածության մեջ իրենց ունեցած ուղղությամբ, կոչվում են վեկտորական մեծություններ: 

Վեկտորական մեծությունը կամ վեկտորը այն մեծությունն է, որը որոշվում է թվային արժեքով և ուղղությամբ: Վեկտորի թվային արժեքը կոչվում է նրա մոդուլ:

Վեկտորը ներկայանում է որպես ուղղորդված հատված: Հատվածի ծայրակետերից մեկն անվանվում է  սկզբնակետ, իսկ մյուսը՝ վերջնակետ: 

Վեկտորի գրառման համար տառերի հերթականությունը խիստ կարևոր է: Առաջին տառը ցույց է տալիս սկզբնակետը, իսկ երկրորդը՝ վերջնակետը:

Հատվածի երկարությունը վերցվում է վեկտորի մոդուլին հավասար: Օրինակ,  AB ոչ զրոյական վեկտորի  մոդուլը հավասար է AB հատվածի երկարությանը: Այն նշանակվում է |AB|:

Այն վեկտորը, որի մոդուլը 0 է, անվանում ենք զրոյական վեկտոր: Այն պատկերվում է կետով, այսինքն՝ նրա սկզբնակետը և վերջնակետը համընկնում են:

Երկու ոչ զրոյական վեկտորներ, որոնց ներկայացնող ուղղորդված հատվածները գտնվում են միևնույն ուղղի կամ զուգահեռ ուղիղների վրա, կոչվում են համագիծ վեկտորներ: Օր.՝ նկ. 44-ում AB||CD: 

Համագիծ վեկտորները կարող են կա՛մ միևնույն ուղղությունն ունենալ, կա՛մ լինել հակադիր ուղղությամբ: Առաջին դեպքում վեկտորներն անվանում են համուղղված
(AD↑↑CF), երկրորդ դեպքում՝ հակուղղված(FE↑↓NC):

Ոչ համագիծ վեկտորները կոչվում են տարագիծ վեկտորներ:

Երկու վեկտորներ կոչվում են հավասար, եթե նրանք համուղղված են և նրանց մոդուլները հավասար են: 

a և b վեկտորների հավասարությունը գրառվում է այսպես՝ a=b, սա նշանակում է, որ տեղի ունեն հետևյալ պայմանները. a↑↑b  և  |a|=|b|:

Զրոյական վեկտորները միմյանց հավասար են. |0|=0: Կարող ենք ասել,որ զրոյական վեկտորը միակն է:

aվեկտորը տեղադրված է A կետից արտահայտության փոխարեն երբեմն ասում են aվեկտորը կիրառված է A կետից: Այս դեպքում A կետը կոչվում է վեկտորի կիրառման կետ:

Ֆիզիկական երևույթները հոտազոտելիս դիտարկվում են երեք տեսակի վեկտորներ՝ ազատ,սահող և կապված: Ազատ վեկտորը կարող է կիրառվել տարածության ցանկացած կետից, սահող վեկտորը՝ միայն մեկ ուղղի պատկանող կետից, իսկ կապված վեկտորը՝ միայն մեկ կետից:

Գործողություններ վեկտորների հետ

Վեկտորների գումարումը

Կամայական a և b վեկտորների գումար կոչվում է այն c վեկտորը, որի սկզբնակետը որևէ կետից տեղադրված a վեկտորի սկզբնակետն է, իսկ վերջնակետը՝ a-ի վերջնակետից տեղադրված b վեկտորի վերջնակետը:

3 կետերի կանոնը. Տարածության կամայական A,B, և C կետերի համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝ AB+BC=AC:

Երկու տարագիծ վեկտորների գումարը կարելի է գտնել նաև ըստ զուգահեռագծի կանոնի: Ըստ այդ կանոնի՝ գումարելի a և b վեկտորները տեղադրվում են նույն կետից և որպես գումար է վերցվում նրանցով կազմված զուգահեռագծի այն ուղղորդված անկյունագիծը, որի սկզբնակետը գումարելի վեկտորների ընդհանուր սկզբնակետն է: 

Ցանկացած a, b, c վեկտորների համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.

• a+b=b+a   /տեղափոխական հատկություն/
• (a+b)+c=a+(b+c)    /զուգորդական հատկություն/
• a+0=a   /զրոյական գումարելիի հատկություն/:

Մի քանի վեկտորների գումարումը կատարվում է դրանց զույգերի գումարը հաջորդաբար գտնելու միջոցով:

Մի քանի կետերի կանոնը. 

Վեկտորների հանմը: Հակադիր վեկտորներ

Գտնել a և b վեկտորների տարբերություն նշանակում է գտնել մի այնպիսի c վեկտոր, որը գումարելով b վեկտորին ստացվում է a վեկտորը:

a-b վեկտորը կառուցելու համար տանում ենք միևնույն կետից տեղադրված a և bվեկտորների վերջնակետերը միացնող հատվածը և որպես ուղղություն վերցնում b-ի վերջնակետից դեպի a-ի վերջնակետը:

Երկու վեկտորներ, որոնց գումարը զրոյական վեկտոր է,կոչվում են հակադիր վեկտորներ: 

Ոչ զրոյական հակադիր վեկտորների մոդուլները հավասար են և դրանք հակուղղված են, իսկ զրոյական վեկտորի հակադիրը ևս զրոյական վեկտոր է :

Վեկտորների բազմապատկումը թվով

Ոչ զրոյական a վեկտորի և k թվի արտադրյալ կոչվում է այն վեկտորը, որի մոդուլն է |k||a|, և որը k0 դեպքում համուղղված է a վեկտորին, իսկ k<0 դեպքում՝ հակուղղված: Զրոյական վեկտորի և կամայական թվի արտադրյալ է կոչվում զրոյական վեկտորը:

a վեկտորի և k թվի արտադրյալը նշանակվում է ka կամ ka:

Կարող ենք ասել, որ

• a և ka վեկտորները համագիծ են. a || ka
• |ka|=|k||a|
•  k0=0a=0
• 1a=a  և -1a=-a

Ցանկացած k, m թվերի և կամայական a , b վեկտորների համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.

Վեկտորների սկալյար արտադրյալը

Քանի որ տարածության մեջ կամայական 2 վեկտոր կարելի է  տեղադրել նույն կետից, ապա  կարող ենք ասել, որ ցանկացած երկու վեկտոր ընդգրկվում են մի հարթության մեջ: Դրանից ելնելով կարող ենք ներմուծել երկու վեկտորների կազմած անկյուն հասկացությունը:

Վերցնենք կամայական երկու a և b ոչ զրոյական վեկտորներ և դրանք տեղադրենք որևէ Օ կետից (տես նկարը): Եթե a և b համուղղված չեն, ապա OA և OB ճառագայթները կազմում են <AOB: Այդ անկյան մեծությունը նշանակենք : Այդ դեպքում կասենք, որ a և b վեկտորների կազմած անկյունը է: Իսկ եթե a և b վեկտորները համուղղված են (այդ դեպքում նաև նրանցից մեկը կամ երկուսն էլ զրոյական են), ապա նրանց կազմած անկյունը 0է:  a և b վեկտորների կազմած անկյունը նշանակում են      <(a,b ): 

Այն երկու վեկտորները, որոնց կազմած անկյունը 90է, կոչվում են ուղղահայաց/փոխուղղահայց վեկտորներ:

Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալ կոչվում է դրանց մոդուլների և այդ վեկտորների կազմած անկյան կոսինուսի արտադրյալը:

a*b=|a|*|b|*cos<(a,b)

Հավասարման աջ մասի արժեքը թվային մեծություն է: Եթե վեկտորներից գոնե մեկը զրոյական է, ապա արտահայտության արծեքը 0 է: 

Երկու ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է միայն այն դեպքում, երբ նրանք փոխուղղահայց են, քանի որ նրանց կազմած անկյունը հավասար է 90, իսկ cos90=0:

Համահարթ և տարահարթ վեկտորներ

Երեք կամ ավելի վեկտորները, որոնք նույն կետից տեղադրելիս ընկնում են մի հարթության մեջ, կոչվում են  համահարթ վեկտորներ:

Երեք կամ ավելի վեկտորները, որոնք նույն կետից տեղադրելիս մի հարթության մեջ չեն ընկնում, կոչվում են  տարահարթ վեկտորներ:

Երեք տարահարթ վեկտորների գումարը հավասար է նույն կետից տեղադրելիս նրանց վրա կառուցված զուգահեռանիստի այն ուղղորդված անկյունագիծը, որի սկզբնակետը տվյալ կետն է: Այս կանոնը կոչվում է զուգահեռանիստի կանոն:

Կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգը

Կոորդինատ բառն ունի լատինական ծագում և բառացի նշանակում է համատեղ կարգավորված: Ժամանակակից մաթեմատիկայում օգտագործվում են կոորդինատների տարբեր համակարգեր, սակայն մենք կուսումնասիրենք դրանցից մեկը՝ կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգը, որը բաղկացած է կոորդինատային Ox, Oy, Oz առանցքներից՝ աբսցիսների առանցք, օրդինատների առանցք, ապլիկատների առանցք և կոորդինատների սկզբնակետից՝ O: 

Կոորդինատային առանցքների զուգերով անցնող հարթությունները կոչվում են կոորդինատային հարթություններ, որոնք համապատասխանաբար նշանակվում են Oxy, Oxz, Oyz, իսկ կոորդինատային համակարգն ամբողջությամբ նշանակվում է Oxyz:

Վեկտորների կոորդինատները

Կոորդինատների սկզբնակետից տեղադրված վեկտորի վերջնակետի կոորդինատները կոչվում են այդ վեկտորի կոորդինատներ:

OAx,y,z կամ ax,y,z

Վեկտորը, որի մոդուլը հավասր է հատվածների չափման միավորին, կոչվում է միավոր վեկտոր:

Կոորդինատային վեկտորներն այն միավոր վեկտորներն են, որոնք տեղադրված են կոորդինատների սկզբնակետից՝ կոորդինատային առանցքների ուղղությամբ:

Կոորդինատային վեկտորները տարահարթ են, հետևաբար ցանկացած վեկտոր կարելի է վերածել ըստ այդ վեկտորների:

Հավասար վեկտորներ կունենան նույն կոորդինատները:

Վեկտորների հետ գործողությունները կոորդինատներով

Երկու կամ ավելի վեկտորների գումարի/տարբերության յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է այդ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների գումարն/տարբերությանը:

a+b=c, cx1+x2,y1+y2,z1+z2

a-b=c, cx1-x2,y1-y2,z1-z2

Տրված վեկտորի հակադիրի յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է այդ վեկտորի համապատասխան կոորդինատի հակադիրին:

ax,y,z, հետևաբար՝ -a-x,-y,-z

Վեկտորի ու թվի արտադրյալի յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է վեկտորի համապատասխան կոորդինատի և այդ թվի արտադրյալին:

ax,y,zկոորդինատներով a վեկտորի մոդուլը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ 

|a|=x2+y2+z2

Կոորդինատների միջոցով կարող ենք հաշվել նաև կամայական երկու ax1,y1,z1,bx2,y2,z2վեկտորների սկալյար արտադրյալը:

ab=x1x2+y1y2+z1z2

Դիտարկենք նաև հետևյալը. ab=|a||b|cos cos=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22:

Երկու կետերի միջև հեռավորությունը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

dAB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2, 

A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) — տրված կետերի կոորդինատներն են:

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները որոշվում են հետևյալ բանաձևով.

x=x1+x22, y=y1+y22, z=z1+z22, Mx,y,z:

Համաչափ կետերի կոորդինատները

Համաչափությունը կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ.

Տրված կետի կոորդինատների միջոցով կոորդինատային սկզբնակետի նկատմամբ համաչափ կետի կոորդինատները որոշելու համար բավական է տրված կետի բոլոր կոորդինատները փոխարինել իրենց հակադիրներով:

Համաչափությունը կոորդինատային առանցքների նկատմամբ.

Տրված կետի կոորդինատների միջոցով որևէ կոորդինատային առանցքի նկատմամբ համաչափ կետի կոորդինատները որոշելու համար բավական է տրված կետի՝ այդ առանցքի անվամբ կոորդինատը թողնել նույնը, իսկ մյուս երկու կոորդինատները փոխարինել իրենց հակադիրներով:

Համաչափությունը կոորդինատային հարթությունների նկատմամբ.

Տրված կետի կոորդինատների միջոցով որևէ կոորդինատային հարթության նկատմամբ համաչափ կետի կոորդինատները որոշելու համար բավական է տրված կետի՝ այդ հարթության անվամբ կոորդինատները թողնել նույնը, իսկ մյուս կոորդինատը փոխարինել իր հակադիրով:

Տարածության մեջ տրված մակերևույթի հավասարումը

Ներմուծված Oxy համակարգում x և y փոփոխականներով f(x,y)=0 հավասարումը կոչվում է որևէ L գծի հավասարում, եթե L գծի ցանկացած կետի կոորդինատները բավարարում են այդ հավասարմանը, իսկ L-ի վրա չընկած կետերի կոորդինատները չեն բավարարում այդ հավասարմանը:

Օրինակ, M(x,y) կետը r շառավիղ և A(a,b) կենտրոն ունեցող շրջանագծին պատկանում է միայն և միայն այն դեպքում, երբ x-ն ու y-ը բավարարում են (x-a)2+(y-b)2=r2հավասարմանը:

x, y, z փոփոխականներով f(x,y,z)=0 հավասարումը կոչվում է F մակերևույթի հավասարում, եթե ցանկացած M(x,y,z) կետ F մակերևույթին պատկանում է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա կոորդինատները բավարարում են այդ հավասարմանը:

Կամայական M(x,y,z) կետի հեռավորությունն A(a,b,c) կետից հաշվվում է հետևյալ բանաձևով. dMA=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2:  Եթե M կետն ընկած է գնդային մակերևույթի վրա, ապա dMA=R   կամ   dMA2=R2, այսինքն՝ M կետի կոորդինատները բավարարում են հետևյալ հավասարմանը.

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2:

Մասնավոր դեպքում, երբ գնդային մակերևույթի կենտրոնը կոորդինատային համակարգի սկզբնակետն է (a=b=c=0), ապա գնդային մակերևույթի հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

x2+y2+z2=R2: